Il rapporto aureo

A livello storico vi sono diverse questioni aperte riguardo quali e se effettivamente siano esistiti prima dei greci, popoli che conoscessero la sezione aurea e che effettivamente la utilizzassero nelle loro opere.

Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei matematici, che ne rilevarono proprietà di natura algebrica, prima inconoscibili per via meramente geometrica.

Indipendentemente da approfondimenti facilmente ritrovabili ed ai quali vi rimandiamo con dei link a piè di pagina, il rapporto aureo stabilisce un equilibrio naturale delle proporzioni di un oggetto.
E’ la natura stessa ad esserne la principale portavoce attraverso l’osservazione degli elementi, dalla mineralogia alle specie vegetali.
La curiosità destata dalla formula.
Su questo spunto, molto è stato fatto nel tempo perchè l’equazione si potesse riprodurre: architettura, arte, musica, pittura …..

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La bottiglia di Klein

La bottiglia di Klein è una particolare figura geometrica non orientabile, nella quale cioè non si può individuare un sopra e un sotto, un esterno e un interno.

Questo implica che sulla bottiglia di Klein, come sul nastro di Moebius, si può passare dalla “faccia interna” a quella “esterna” senza bucare la superficie o scavalcare l’orlo.

Diversamente dal nastro di Moebius, la bottiglia di Klein non è facilmente visualizzabile, perché è rappresentabile solo in spazi che abbiano almeno quattro dimensioni, una in più rispetto all’unico tipo di spazio di cui abbiamo esperienza, cioè quello tridimensionale.

Il nastro di moebius

Il nastro di Moebius è una superficie con una sola faccia.
Si ottiene unendo le due estremità di un nastro di carta, ma dopo avergli dato mezzo giro di torsione, unendo cioè l’angolo destro di un lato con quello sinistro dell’altro, a differenza di quanto si fa per formare con un nastro un normale cilindro.

Questa forma si distingue da qualsiasi altra grazie al fatto che tutte le superfici della geometria tradizionale sono bilaterali: hanno due facce, una superiore e una inferiore, o una interna e una esterna.

Per passare da una faccia all’altra bisogna bucare la superficie o scavalcarne il margine.